Хаос / Chaos — математический фильм, состоящий из девяти глав, по тринадцать минут каждая. Это фильм для широкой публики, посвященный динамическим системам, эффекту бабочки и теории хаоса.
ВКЛЮЧИТЕ РУССКИЕ СУБТИТРЫ!
1. Движение и детерминизм. Панта Рей
«Всё течет, всё движется».Так начинается первая глава «Хаоса», напоминающая нам основные идеи философа Гераклита Эфесского, который жил в конце в VI века до нашей эры. Бытие постоянно эволюционирует, вещи эфемерны, всё находится в непрерывном движении, всё порождает всё, всё — есть суть всё. Первые минуты фильма иллюстрируют эту мысль несколькими примерами из повседневной жизни, а также примерами из математического мира.
2. Векторные поля. Гонка Лего
В конце 17 века, Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) и Исаак Ньютон (1643—1727), независимо друг от друга, изобрели великолепный математический инструмент: исчисление бесконечно малых или дифференциальное и интегральное исчисление. Это — очень эффективный хрустальный шар для предсказания будущего, если исследуемая система задаётся дифференциальными уравнениями. Эта глава — введение в математический анализ в мире Лего.
3. Механика. Яблоко и Луна
В физике долгое время преобладали идеи Аристотеля. Третья глава фильма начинается с их напоминания: «У каждого объекта есть своё место, и если мы сдвинем его, он будет пытаться вернуться к нему... Всё, что нас окружает, стремится к своему естественному равновесию. Яблоко падает, поскольку такова его природа. Луна вращается вокруг Земли, потому что такова её природа.»
4. Колебания. Маятник
Как описать качающийся маятник? Его положение задаётся одним числом это угол, на который он отклоняется от вертикали. Скорость тоже задаётся числом, знак которого обозначает, вправо или влево движется маятник. Без трения маятник колебался бы вечно. Галилео Галилей заметил это в юном возрасте. Однако, из-за трения маятник по прошествии какого-то времени останавливается.
5. Бильярды. Бык Дюэма
Чтобы подобраться к такому трудному вопросу, как движение небесных тел, можно сначала изучить более простые вопросы. Если движение шарика, катящегося без трения по чаше, кажется не столь трудным для понимания, то для чаши с несколькими выпуклостями это уже не так. Движение внезапно становится очень сложным.
6. Хаос и подкова. Смейл в Копакабане
Начнём со старой идеи Анри Пуанкаре (1854-1912): изучая векторное поле в пространстве, иногда мы можем найти маленький диск, который траектории время от времени пересекают. Изучать точки на диске, в которых траектории его пересекают, зачастую много проще, чем изучать векторное поле в целом. Мы переходим от динамики с непрерывным временем к динамике с дискретным временем.
7. Странные аттракторы. Эффект Бабочки
В 1963 Эдвард Лоренц (1917—2008), который интересовался проблемой конвекции в земной атмосфере, смог значительно упростить гидродинамические уравнения Навье-Стокса, знаменитые своей колоссальной сложностью. Атмосферную модель Лоренца физики называют игрушечной, так как она, возможно, имеет очень слабую связь с реальными процессами в атмосфере. Тем не менее, она очень интересна с математической точки зрения. В этой модели всего три параметра x, y и z, так что каждая точка пространства (x, y, z) символизирует состояние атмосферы.
8. Статистика. Мельница Лоренца
Зависимость будущего системы от начальных условий может выглядеть обескураживающе. Тем не менее, здесь существует положительный и конструктивный подход. Вот сообщение Лоренца, к сожалению, не столь хорошо известное широкой публике: «Но в целом, я утверждаю, что в течение лет незначительные потрясения ни увеличивают, ни уменьшают частоту возникновения различных погодных явлений, таких как ураганы. Всё, что они могут сделать — это изменить порядок, в котором происходят эти явления.»
9. Хаотическая или нет? Современные исследования
Существует много видов динамических систем. Некоторые из них сложны, другие нет. Чтобы лучше разобраться в этом, возьмём векторное поле, зависящее от одного параметра, и позволим этому параметру медленно изменяться. Мы видим, что динамическая система под влиянием изменений этого параметра иногда оказывается простой, а иногда неожиданно становится очень сложной. Как понять эти, происходящие на наших глазах, бифуркации? Какой тип поведения чаще всего встречается в природе?